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どうして0乗は1になるのか?

JBpress 7/21(木) 6:15配信

■ コピー用紙を何回折れば月までの距離を超えるか? 

 厚さ0.08ミリメートル(100枚で8ミリメートル、500枚で4センチメートル)のコピー用紙はせいぜい8回ほどしか半折りできません。

 その厚さはもとの厚さの2×2×2×2×2×2×2×2=256倍で、約2センチメートルです。これを折り続けて紙の厚さが地球から約38万キロメートル離れた月にまで届くには何回折ればいいでしょう。

 その計算はいたって単純です。2を何度もかけていくだけです。

 0.08ミリメートルのコピー用紙をn回折ったときの厚さは0.08に2をn回かけた2×2×2×・・・×2×0.08ミリメートルになります。

 10回の場合は、2の10乗=1024なので計算を簡単にするためにこれを1000として計算してみると0.08ミリメートル×1000=8センチメートルとわかります。

 これをもとに計算を繰り返していくと、20回で約80メートル、40回で約8万キロなので41回で約16万キロメートル、42回で約32万キロメートル、そして43回で約64万キロメートルとなり月を通り越すことがわかります。答えは43回です。

 予想とくらべてとても小さな値にびっくりするかもしれません。ちなみに、この計算の正確な値は電子計算機を用いて42回で35万1843.72088832キロメートル、43回で70万3687.44177664キロメートルです。

  (* 配信先のサイトでこの記事をお読みの方は、このあと登場する数式、図をこちらでご覧いただけます。http://jbpress.ismedia.jp/articles/-/47390)

■ 曾呂利新左衛門(そろりしんざえもん)の逸話

 豊臣秀吉に功績をたたえられ、褒美は何が欲しいかといわれ「今日は米1粒、明日は米2粒、あさっては米4粒と日ごとに2倍ずつ増やして、30日分の米を欲しい」と答えたというお話です。

 米がお金(1文、2文、4文、・・・)であったり、30日が81日、100日、365日だったりといくつかバージョンがあるようです。

 米粒で30日の場合の総粒数を計算してみます。1日目1粒、2日目2粒、3日目22
粒、・・・、30日目229
粒なのでその総和は、等比数列の和の公式を用いて1+21
+22
+・・・+229
=230
-1=10億7374万1823(粒) とわかります。米1粒を0.02グラムとすると30日分の総量は次のようになります。

 21474836.46グラム≒21474キログラム≒21トン

 さて、1文、2文、4文、・・・で365日ならどうなるでしょう。

1+21
+22
+・・・+2364
=2365
-1 =751533626487626632924633790972587848760218無量大数4156不可思議5066那由多2358阿僧祇6263恒河沙3311極0890載3068正8803澗6674溝7019穣0838秭3679垓4831京2598兆4970億2191万9231

 110桁の数になります。10無量大数で70桁ですから、天文学的数値になります。

■ ドラえもんの道具「バイバイン」

 現代のドラえもんにもこれと同じ話題が登場します。バイバインの液を1滴栗まんじゅうにたらすと、5分ごとに2倍に増えていくというものです。

 のび太は増えていく栗まんじゅうをまわりの人にプレゼントしていくものの、終いにはあげる相手がいなくなってしまい、残ってしまった1個の栗まんじゅうの処分に困ってしまう。

 おなかいっぱいののび太はゴミ箱に捨てるしかありませんでした。ほどなくしてドラえもんが帰宅、のび太にすべて残さず食べただろうねと聞きます。

 1個の栗まんじゅうが2時間で1677万7216個、それからわずか15分で1億個を超すんだよと言ったときにはすでに時遅し。

 ゴミ箱に捨てた1個の栗まんじゅうが増えてあふれている光景に2人はびっくり仰天。結局、風呂敷につつんでロケットで宇宙の彼方に送ってしまうという落ちです。

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最終更新:7/21(木) 8:30

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