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素数の世界も多士済々、あなたの名前も?

JBpress 9/1(木) 6:00配信

■ 素数の謎に挑み続けている人類

 紀元前300年、古代ギリシャのユークリッドは、素数が無限個あることを証明してみせました。

 無限個ある自然数の中に無限個ある素数、その分布をテーマにするのがリーマン予想です。連載「リーマン予想への道」全4回(1、2、3、4)では、リーマン予想が教える数の世界の深淵さを覗いてみました。見えてくる風景は、リーマン予想のターゲットである素数の難しさです。

 今回は趣向を変えて、人類が素数に挑んできた軌跡を振り返ってみようと思います。

 素数の種類の多さが、いかに素数が探究されてきたのかを如実に物語ります。連載「“違法な”素数」もその一例ですが、今回は人名が付けられた素数を紹介してみます。

■ 1.メルセンヌ素数

 17世紀に修道僧マラン・メルセンヌ(1588-1648)は、2n
-1が素数になる場合が、257以下のnでは、n = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 だけであると主張しました。 このことから2n
-1の形をした数をメルセンヌ数、そしてそれが素数の場合はメルセンヌ素数と呼ぶようになりました。 ちなみに、このマラン・メルセンヌは、現在の音楽に使われている音律、12平均律のほぼ完璧な計算を行った人物でもあります。

 メルセンヌ素数は古くから最も研究されて素数です。古代ギリシャのユークリッドは、完全数(その数自身を除く約数の和がその数と等しい自然数)とメルセンヌ素数の関係を発見しています。メルセンヌ素数2p
-1に対して、2p-1
を乗じた数が完全数になるという法則です。 そして、現在知られている最大の素数は、2016年1月に発見された49番目のメルセンヌ素数、274207281
-1です。2233万8618桁に及ぶ巨大な数です。 メルセンヌ素数2p
-1の指数pは素数です。しかし、2p
-1(pは素数)の形の数は必ずしも素数ではなくその数は少ないので、探索は容易ではなく時間が必要です。

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最終更新:9/1(木) 6:00

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